Şekil 1: Bir slayt. Resim: Saim Tokaclu / Shutterstock.com
Apollo 11 gibi teknik zaferlerde merkezi bir role rağmen, neredeyse hiç kimse bu aracın mantığını ve zarafetini bilmiyor. Matematik tarihi boyunca zaman içinde bir yolculuk.
70'lere kadar, slayt en yaygın kişisel aritmetik aracıydı. Bu cihazların yerini elektronik hesap makineleri aldı ve bugün çok az öğrenci şimdiye kadar bir slayt gördü.
Ancak belki de daha şaşırtıcı olan, bu on yılda belirli bir yaştaki birçok matematikçinin ve mühendisinin hala nostalji ile hatırladığı enstrümanın dört yüz yıldönümünü kutladığımız gerçeğidir.
Apollo 11'in Astronotlarının Ay'daki Misyonunun her birinin 1969'da bir slayt olduğunu belirtmek gerekir. Şekil 1, “modern” bir slayt göstermektedir. Temel fikir, yüzeyde sayısal merdivenlere sahip paralel çizgiler olmasıdır. Orta köprü mobildir, böylece sayısal merdivenler farklı şekilde ayarlanabilir.
Hesaplama slaytında kullanılan sayısal ölçek bir logaritmadır. Logaritmalar 1619'da Merciston'dan İskoç matematikçisi John Napier tarafından icat edildi). 1 Fikir, 10'un 10'dur.2 Eşit 100 ve 103 1.000. Bu nedenle, 2'yi on 100 ve 3'lük bir logaritma olarak onlarca logaritma olarak tanımlayabiliriz.
Genel olarak, 10 yüksekse X Ayrıca y Öyle, biz arıyoruz X düzinelerce logaritma y. Örneğin, bir hesap makinesine 10 0.5 yüksekliğin 3.16 olduğunu kolayca kontrol edebiliriz. Yani 0.5 on 3.16 logaritmasıdır.
Logaritmalar için önemli olan, İki sayı ürününün logaritması, ilgili logaritmaların toplamı ile aynıdır.
Yani, basılı bir logaritme panelimiz ve iki numaramız varsa A VE B Çarpmak, logaritmalarınız gibi masaya bakmak ve eklemek istiyoruz. Bu yüzden, logaritması bu toplamı karşılık gelen ve bu nedenle ürünü alan sayıyı tekrar masada arıyoruz. mesafe.
Daha sonra çarpma, kullanılan logaritma ile bir ilaveye dönüştürülür. Hala yanımda logaritma kartım vardı. Kırtasiye dükkanlarında satıldılar.
Logaritma
Hesaplama slaytı başlangıçta logaritma olarak görüntülenebilir. İçinde bulunan sayısal ölçek, Şekil 2'de gösterilme şeklidir. 1'in logaritması sıfırdır ve bu nedenle çizginin üst kısmındadır. 2'nin logaritması, ölçekte 2 ile 1 arasındaki mesafe ile gösterilmiştir. Üçün logaritması 3 ila 1 arasındaki mesafeyle gösterilmiştir.
2'nin logaritmasının ne olduğunu bilmek istersem, sadece bir cetvelle 1 ile 2 arasındaki mesafeyi ölçmem gerekiyor. Bununla birlikte, bu gerekli değildir, çünkü hesaplamaların uygulanması için sayısal logaritma ölçeği “CARS -ostic” dir.
Şekil 2: Düz logaritma, sözde “Gunter-Line”. Grafik: TP
Diyelim ki 2 ile 2 çarpmak istiyoruz. 1 ve 2 arasındaki mesafeyi yakalamak için bir daire açıyorum (“log 2” e karşılık gelir). Bu açıklık ve sol kol 2 ile, dairenin diğer kolunun ne ölçüde uzandığını görüyorum. Sonuç 4 (yani log 2 + log 2 = log 4) ölçeğinde okudum ve böylece 2 x 2 ürününün 4 olması, aynı şekilde, sonucu 10 elde etmek için 5 ile başka iki sayı çarpılabilir (bkz. Şekil 3).
Şekil 3: Logaritmik ölçek ile iki çarpma örneği. Grafik: TP
Daha sonra slayt, başlangıçta, mesafeler eklemek için bir daire yardımıyla kullanılabilen Logarith örtülü bir zihinsel panelle bir figür ışını olarak oluşturuldu.
Londra'daki Gresham College'da profesör Edmund Gunter, 1620'de kitabında yendi Canon Trianguorum Bu nedenle logaritma hattına “Gunter'CA hattı” adı verildi ve uzun yıllar boyunca (bir daire ile birlikte) kullanıldı.
Bu şekilde, logaritmanın tablolarının kullanımından çok akıllı bir şekilde önlenir, ancak doğruluk, kullanıcının görme keskinliği ve Logaritmea ölçeğinin bölüm sayısı ile sınırlıdır.
William Oaughtred'in katkısı
Ünlü matematikçi William Oaughtred, Gunter hattının metal bir devrede işleyişi için gerekli daireyi takarak hesaplama slaytının geliştirilmesine ilk katkıda bulundu. Şekil 4 bir örneği göstermektedir. Ouggretd'in fikri, çembere iki mobil kola saldırmaktı. Logaritmik ölçek şimdi bir daire üzerinde tasarlanmıştır (karşılık gelen sayısal etiketleme ile).
Mobil kollar daha sonra istenen logaritmayı (örn. Log 2) anlayacak şekilde ayarlanır ve bu nedenle, açılışlarının yukarıda gördüğümüz gibi logaritmik ölçeğin herhangi bir kısmına geçmesi için hareket ettirilir. Buna bazen “dairesel alıcı” denir, ancak bu araçlar daha sonra kayar parçalara sahipti. Oaughtred'in fikri, öğrencisi William Forster tarafından kitabında kitabındaydı Oranlar ve yatay alet daireleri Londra, 1632, yayınlandı. 3
Şekil 4: William Oaughtred tarafından “Oranlar Çemberi” (Elias Allen, Londra, yaklaşık 1633-1640). Resim: Putnam Galerisi, Harvard Üniversitesi / Kamusal Alan
Logaritmik hesaplama slaydı
Almanca'da “Hesaplama Slayt”, İngilizce “Slayt Kuralı” diyoruz. Kayan parçalarla bu egemenlik fikri, daireler veya mobil kollar olmadan yapmak ve sadece iki karşı merdiven hareket ederek çarpımlar veya bölümler yapmaktır. Şekil 5 fikri göstermektedir.
Şekil 5: İki “kayma” logaritmik merdivenler. Grafik: TP
Şekil 5'te gösterildiği gibi, iki özdeş merdiven şimdi üst ölçekte 1'i alt ölçekte 3 ile hizalamak için harekete geçirilmiştir. Ürün 3 kez 2 (veya 6) üst ölçekte 2 kişilik işaret altındadır.
3'lü bir sayının tüm ürünleri karşılık gelen rakamlar arasındadır. Bu şekilde ölçeğin daha ince bölümlerini sağladık, ancak mevcutlarsa, sadece alt ölçekte hizalanmış sonuçları okuyarak 3 ile 2,5 veya 2.7 ile çarpmak mümkündür.
Ve burada hesaplama slaytının icadının önceliği sorununa geliyoruz. Edmund Gunter'ın 1620'de logaritmik çizgisini önermesi tartışılmaz. Ouggretd'in enstrümanını en azından 1630'dan beri ve belki de 1627'den itibaren gösterdiği de bilinmektedir, ancak bunun kesin bir kanıtı yoktur.
Ama aynı zamanda matematikçi Edmund kanatları da uzun başlıklı bir kitabın Aritmetik ve geometride oran kuralı İlk kez 1624.4'te Paris'te yayınlanan yazılı yazılı, bazı yazarlar imlecin bu kitapta 1626'nın İngilizce baskısında açıklandığını söylüyor.
Tarihçi Florian Cajori5, başka bir Wingate kitabındaki hesaplama slaytının açıklamasını başlıklı olarak tanımlayabildi. Doğal ve yapay aritmetik 1630.6'dan beri gösterildi. Bu açıklama aşağıdaki baskılardaydı Orantılı kuralı Eklendi.
Bu nedenle Cajori, 17. yüzyılda İngiltere'de popüler olan en ünlü matematik olan Wingate'e hesaplama slaytının işlevselliğinin yayınlanmasının önceliğinin, buluşun neredeyse aynı zamanda 1626 ve 1630 arasında gerçekleştiği ve paralel olarak Wingate ve Ogredd'in çok benzer kavramlar üzerinde çalıştığı sonucuna varmıştır. Bu nedenle, Cajori aşağıdakilere ulaşır:
Yeniliklerin yavaş yavaş ilerlediğini ve her zaman bir hikayeye sahip olduğunu göstermek için, “Galileo sektörünü” ünlü Galileo Galilei (1564-1642) tarafından icat edilmeyen, ancak 16. yüzyılın sonunda Padua'da geçirdiği süre boyunca mükemmelleştiren bir araçtan ayrılmamalıyız. Şekil 6, işlevselliğini gösteren orantılı bir aracın bir görüntüsünü göstermektedir.
Sektör zaten daha basit formlarda mevcut olsa da, Galileo ona matematiksel ve pratik hesaplamalar için daha hassas, daha çok yönlü ve daha kullanışlı bir form verdi ve bu nedenle bilim adamları, topçu listeleri ve mühendisler için temel bir araç haline getirdi.
Şekil 6: Dresden'deki köpek kulübesindeki matematiksel-fizik salonunda Galileo sektörü. Resim: Kamu malı
Enstrüman, 10 sayıyı (fermuarda) 10'u temsil eden iki geleneksel sayısal ölçek vardır. Cihaz açılabilir ve tabanı bir dairenin açılmasıyla (örneğin x santimetreyi temsil eden) bir üçgen oluşturabilir.
Dairenin iki kolu, her iki merdivende iki sayıya 7'ye dokunacak şekilde konumlandırılmışsa, her iki merdivende 2 sayılara karşılık gelen işaretler arasındaki mesafe, Cirello X'in açılması, üçgenlerin 7 veya 2 ile benzerliği nedeniyle 2/7 ile 2/7 ile çarpılır.
Bu şekilde, bu araç bugün “analog bilgisayar” dediğimiz şeyi temsil ediyor, bu da sayıların hemen kesintilerle çarpılabileceği.
Galileo sadece tasarımın doğruluğunu geliştirmekle kalmadı, aynı zamanda sektörün çeşitli problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini ayrıntılı olarak açıkladığı bir kılavuz yazdı. Bu kılavuz hem matematikçilere hem de askeri uzmanlara kılavuz olarak hizmet vermiştir ve aracın pratik durumlarda yararlılığını göstermiştir.
Sonuç
Ebeveynlerin veya büyükanne ve büyükbabaların bodrumundan kurtarılmış olabilecek bir imleç görünen herkes, sadece geleneksel logaritmik ölçek değil, birçok sayısal merdiven içerdiğini keşfedecektir. Yüzyıllar boyunca, geleneksel araca sayısal “tablolar” eklendi, örneğin trigonometrik fonksiyonlar sekmesi veya kareler ve küpler vb. Kart sekmesi.
Sonuç, aşırı hassasiyet gerektirmeyen hesaplamalar için çok güçlü bir araçtı ve ayrıca trigonometrik görevler de dahil olmak üzere sayısız sayısal problemi çözmek için uzunluklarla gösterilen birçok tablonun bir özeti oldu.
Kısa bir süre önce, ilk slaytın satın alınması, mühendislik ve doğa bilimleri öğrencileri için bir tür inisiyasyon ritüeliydi. Hala babamın, bir mühendis, bir mühendis, ikiz kardeşimin ve ben, 1960'ların sonlarında hesaplama slaytımızın satın alınmasına gururla eşlik ettiğini hatırlıyorum. Böylece ikimiz de sadece ortaokula gitsek bile, doğa bilimlerinde rahiplere aday olduk.
Raúl Rojas, Berlin Özgür Üniversitesi'nde yapay zeka profesörüdür.
Apollo 11 gibi teknik zaferlerde merkezi bir role rağmen, neredeyse hiç kimse bu aracın mantığını ve zarafetini bilmiyor. Matematik tarihi boyunca zaman içinde bir yolculuk.
70'lere kadar, slayt en yaygın kişisel aritmetik aracıydı. Bu cihazların yerini elektronik hesap makineleri aldı ve bugün çok az öğrenci şimdiye kadar bir slayt gördü.
Ancak belki de daha şaşırtıcı olan, bu on yılda belirli bir yaştaki birçok matematikçinin ve mühendisinin hala nostalji ile hatırladığı enstrümanın dört yüz yıldönümünü kutladığımız gerçeğidir.
Apollo 11'in Astronotlarının Ay'daki Misyonunun her birinin 1969'da bir slayt olduğunu belirtmek gerekir. Şekil 1, “modern” bir slayt göstermektedir. Temel fikir, yüzeyde sayısal merdivenlere sahip paralel çizgiler olmasıdır. Orta köprü mobildir, böylece sayısal merdivenler farklı şekilde ayarlanabilir.
Hesaplama slaytında kullanılan sayısal ölçek bir logaritmadır. Logaritmalar 1619'da Merciston'dan İskoç matematikçisi John Napier tarafından icat edildi). 1 Fikir, 10'un 10'dur.2 Eşit 100 ve 103 1.000. Bu nedenle, 2'yi on 100 ve 3'lük bir logaritma olarak onlarca logaritma olarak tanımlayabiliriz.
Genel olarak, 10 yüksekse X Ayrıca y Öyle, biz arıyoruz X düzinelerce logaritma y. Örneğin, bir hesap makinesine 10 0.5 yüksekliğin 3.16 olduğunu kolayca kontrol edebiliriz. Yani 0.5 on 3.16 logaritmasıdır.
Logaritmalar için önemli olan, İki sayı ürününün logaritması, ilgili logaritmaların toplamı ile aynıdır.
Yani, basılı bir logaritme panelimiz ve iki numaramız varsa A VE B Çarpmak, logaritmalarınız gibi masaya bakmak ve eklemek istiyoruz. Bu yüzden, logaritması bu toplamı karşılık gelen ve bu nedenle ürünü alan sayıyı tekrar masada arıyoruz. mesafe.
Daha sonra çarpma, kullanılan logaritma ile bir ilaveye dönüştürülür. Hala yanımda logaritma kartım vardı. Kırtasiye dükkanlarında satıldılar.
Logaritma
Hesaplama slaytı başlangıçta logaritma olarak görüntülenebilir. İçinde bulunan sayısal ölçek, Şekil 2'de gösterilme şeklidir. 1'in logaritması sıfırdır ve bu nedenle çizginin üst kısmındadır. 2'nin logaritması, ölçekte 2 ile 1 arasındaki mesafe ile gösterilmiştir. Üçün logaritması 3 ila 1 arasındaki mesafeyle gösterilmiştir.
2'nin logaritmasının ne olduğunu bilmek istersem, sadece bir cetvelle 1 ile 2 arasındaki mesafeyi ölçmem gerekiyor. Bununla birlikte, bu gerekli değildir, çünkü hesaplamaların uygulanması için sayısal logaritma ölçeği “CARS -ostic” dir.
Şekil 2: Düz logaritma, sözde “Gunter-Line”. Grafik: TP
Diyelim ki 2 ile 2 çarpmak istiyoruz. 1 ve 2 arasındaki mesafeyi yakalamak için bir daire açıyorum (“log 2” e karşılık gelir). Bu açıklık ve sol kol 2 ile, dairenin diğer kolunun ne ölçüde uzandığını görüyorum. Sonuç 4 (yani log 2 + log 2 = log 4) ölçeğinde okudum ve böylece 2 x 2 ürününün 4 olması, aynı şekilde, sonucu 10 elde etmek için 5 ile başka iki sayı çarpılabilir (bkz. Şekil 3).
Şekil 3: Logaritmik ölçek ile iki çarpma örneği. Grafik: TP
Daha sonra slayt, başlangıçta, mesafeler eklemek için bir daire yardımıyla kullanılabilen Logarith örtülü bir zihinsel panelle bir figür ışını olarak oluşturuldu.
Londra'daki Gresham College'da profesör Edmund Gunter, 1620'de kitabında yendi Canon Trianguorum Bu nedenle logaritma hattına “Gunter'CA hattı” adı verildi ve uzun yıllar boyunca (bir daire ile birlikte) kullanıldı.
Bu şekilde, logaritmanın tablolarının kullanımından çok akıllı bir şekilde önlenir, ancak doğruluk, kullanıcının görme keskinliği ve Logaritmea ölçeğinin bölüm sayısı ile sınırlıdır.
William Oaughtred'in katkısı
Ünlü matematikçi William Oaughtred, Gunter hattının metal bir devrede işleyişi için gerekli daireyi takarak hesaplama slaytının geliştirilmesine ilk katkıda bulundu. Şekil 4 bir örneği göstermektedir. Ouggretd'in fikri, çembere iki mobil kola saldırmaktı. Logaritmik ölçek şimdi bir daire üzerinde tasarlanmıştır (karşılık gelen sayısal etiketleme ile).
Mobil kollar daha sonra istenen logaritmayı (örn. Log 2) anlayacak şekilde ayarlanır ve bu nedenle, açılışlarının yukarıda gördüğümüz gibi logaritmik ölçeğin herhangi bir kısmına geçmesi için hareket ettirilir. Buna bazen “dairesel alıcı” denir, ancak bu araçlar daha sonra kayar parçalara sahipti. Oaughtred'in fikri, öğrencisi William Forster tarafından kitabında kitabındaydı Oranlar ve yatay alet daireleri Londra, 1632, yayınlandı. 3
Şekil 4: William Oaughtred tarafından “Oranlar Çemberi” (Elias Allen, Londra, yaklaşık 1633-1640). Resim: Putnam Galerisi, Harvard Üniversitesi / Kamusal Alan
Logaritmik hesaplama slaydı
Almanca'da “Hesaplama Slayt”, İngilizce “Slayt Kuralı” diyoruz. Kayan parçalarla bu egemenlik fikri, daireler veya mobil kollar olmadan yapmak ve sadece iki karşı merdiven hareket ederek çarpımlar veya bölümler yapmaktır. Şekil 5 fikri göstermektedir.
Şekil 5: İki “kayma” logaritmik merdivenler. Grafik: TP
Şekil 5'te gösterildiği gibi, iki özdeş merdiven şimdi üst ölçekte 1'i alt ölçekte 3 ile hizalamak için harekete geçirilmiştir. Ürün 3 kez 2 (veya 6) üst ölçekte 2 kişilik işaret altındadır.
3'lü bir sayının tüm ürünleri karşılık gelen rakamlar arasındadır. Bu şekilde ölçeğin daha ince bölümlerini sağladık, ancak mevcutlarsa, sadece alt ölçekte hizalanmış sonuçları okuyarak 3 ile 2,5 veya 2.7 ile çarpmak mümkündür.
Ve burada hesaplama slaytının icadının önceliği sorununa geliyoruz. Edmund Gunter'ın 1620'de logaritmik çizgisini önermesi tartışılmaz. Ouggretd'in enstrümanını en azından 1630'dan beri ve belki de 1627'den itibaren gösterdiği de bilinmektedir, ancak bunun kesin bir kanıtı yoktur.
Ama aynı zamanda matematikçi Edmund kanatları da uzun başlıklı bir kitabın Aritmetik ve geometride oran kuralı İlk kez 1624.4'te Paris'te yayınlanan yazılı yazılı, bazı yazarlar imlecin bu kitapta 1626'nın İngilizce baskısında açıklandığını söylüyor.
Tarihçi Florian Cajori5, başka bir Wingate kitabındaki hesaplama slaytının açıklamasını başlıklı olarak tanımlayabildi. Doğal ve yapay aritmetik 1630.6'dan beri gösterildi. Bu açıklama aşağıdaki baskılardaydı Orantılı kuralı Eklendi.
Bu nedenle Cajori, 17. yüzyılda İngiltere'de popüler olan en ünlü matematik olan Wingate'e hesaplama slaytının işlevselliğinin yayınlanmasının önceliğinin, buluşun neredeyse aynı zamanda 1626 ve 1630 arasında gerçekleştiği ve paralel olarak Wingate ve Ogredd'in çok benzer kavramlar üzerinde çalıştığı sonucuna varmıştır. Bu nedenle, Cajori aşağıdakilere ulaşır:
Galileo'nun orantılı sektörü
Yeniliklerin yavaş yavaş ilerlediğini ve her zaman bir hikayeye sahip olduğunu göstermek için, “Galileo sektörünü” ünlü Galileo Galilei (1564-1642) tarafından icat edilmeyen, ancak 16. yüzyılın sonunda Padua'da geçirdiği süre boyunca mükemmelleştiren bir araçtan ayrılmamalıyız. Şekil 6, işlevselliğini gösteren orantılı bir aracın bir görüntüsünü göstermektedir.
Sektör zaten daha basit formlarda mevcut olsa da, Galileo ona matematiksel ve pratik hesaplamalar için daha hassas, daha çok yönlü ve daha kullanışlı bir form verdi ve bu nedenle bilim adamları, topçu listeleri ve mühendisler için temel bir araç haline getirdi.
Şekil 6: Dresden'deki köpek kulübesindeki matematiksel-fizik salonunda Galileo sektörü. Resim: Kamu malı
Enstrüman, 10 sayıyı (fermuarda) 10'u temsil eden iki geleneksel sayısal ölçek vardır. Cihaz açılabilir ve tabanı bir dairenin açılmasıyla (örneğin x santimetreyi temsil eden) bir üçgen oluşturabilir.
Dairenin iki kolu, her iki merdivende iki sayıya 7'ye dokunacak şekilde konumlandırılmışsa, her iki merdivende 2 sayılara karşılık gelen işaretler arasındaki mesafe, Cirello X'in açılması, üçgenlerin 7 veya 2 ile benzerliği nedeniyle 2/7 ile 2/7 ile çarpılır.
Bu şekilde, bu araç bugün “analog bilgisayar” dediğimiz şeyi temsil ediyor, bu da sayıların hemen kesintilerle çarpılabileceği.
Galileo sadece tasarımın doğruluğunu geliştirmekle kalmadı, aynı zamanda sektörün çeşitli problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini ayrıntılı olarak açıkladığı bir kılavuz yazdı. Bu kılavuz hem matematikçilere hem de askeri uzmanlara kılavuz olarak hizmet vermiştir ve aracın pratik durumlarda yararlılığını göstermiştir.
Sonuç
Ebeveynlerin veya büyükanne ve büyükbabaların bodrumundan kurtarılmış olabilecek bir imleç görünen herkes, sadece geleneksel logaritmik ölçek değil, birçok sayısal merdiven içerdiğini keşfedecektir. Yüzyıllar boyunca, geleneksel araca sayısal “tablolar” eklendi, örneğin trigonometrik fonksiyonlar sekmesi veya kareler ve küpler vb. Kart sekmesi.
Sonuç, aşırı hassasiyet gerektirmeyen hesaplamalar için çok güçlü bir araçtı ve ayrıca trigonometrik görevler de dahil olmak üzere sayısız sayısal problemi çözmek için uzunluklarla gösterilen birçok tablonun bir özeti oldu.
Kısa bir süre önce, ilk slaytın satın alınması, mühendislik ve doğa bilimleri öğrencileri için bir tür inisiyasyon ritüeliydi. Hala babamın, bir mühendis, bir mühendis, ikiz kardeşimin ve ben, 1960'ların sonlarında hesaplama slaytımızın satın alınmasına gururla eşlik ettiğini hatırlıyorum. Böylece ikimiz de sadece ortaokula gitsek bile, doğa bilimlerinde rahiplere aday olduk.
Raúl Rojas, Berlin Özgür Üniversitesi'nde yapay zeka profesörüdür.